V- l’analyse Mathématique(Les Modèles)

Jadis, les mécanismes économiques étaient généralement décrits en termes littéraires. Aujourd’hui au contraire, ils sont le plus souvent exprimés mathématiquement, ce qui confère au raisonnement économique un caractère plus rigoureux. Plus précisément, l’analyse économique actuelle tend à être effectuée sous forme de modèles.

Le mot modèle est utilisé dans des sens très différents. Ainsi, il peut désigner une organisation économico-sociale (on parle du modèle américain, soviétique) ou bien un ensemble  théorique (on parle par exemple du modèle marxiste). Or, ici il a un sens technique et désigne une représentation simplifiée et mathématisée d’un ensemble plus ou moins complexe de relations économiques, généralement de courte période. Il se présente donc sous la forme d’un ensemble d’équations.

Nous examinerons successivement :

1. 1.     La nature de ces équations
2. 2.     Leur articulation
3. 3.     Les modèles économétriques

A-les équations du modèle :

Nous nous bornerons aux équations les plus fondamentales que nous répartirons en 5 groupes

a-les équations de comportement :

Elles expriment des réactions humaines qui ont un soubassement purement psychologique. Les équations de comportement les plus typiques sont :

dC = adR                    où C est la consommation et R le revenu

dI= idZ                        où I est l’investissement et Z le profit

Dat = n D t-1         où Da est la demande anticipée par le producteur au temps t, et                      D t-1 la demande de la période précédente.

Qd = -ap + b             où Qd est la quantité demandée et p le prix, leur relation inverse étant exprimée par une droite.

b-les équations techniques

Elles décrivent les rapports existant entre  les productions et les ressources matérielles et humaines nécessaires à leur réalisation.

Le rapport le plus utilisé est : dK = kdP où P désigne la production et K le capital, c’est-à-dire l’équipement nécessaire à la réalisation de P.

Or, le coefficient k, qui exprime le rapport dK/dP, ou I/dP (car dK= I), et qui est appelé (coefficient marginal de capital », a un caractère technique, car il dépend de la nature de la production. Il est par exemple plus élevé pour la production automobile que pour celle du textile.

c-les équations mixtes :

Elles combinent une relation technique et de comportement. Tel est le cas de l’équation b dC =dK, appelée accélérateur

Elle a un caractère technique, car l’action de C sur K s’exerce par l’intermédiaire sur coefficient marginal de capital. (en effet, dC engendre dP, lequel exige dK conformément au rapport b).

C’est en même temps une relation de comportement, car le producteur n’accroit K (n’investit) que si l’accroissement de C lui paraît durable.

S’il décide de ne pas investir, l’accroissement de la consommation se réalisera seulement dans la limite du stock disponible, et de la capacité de production de l’équipement. Elle n’engendrera donc aucun investissement.
On précisera que le coefficient marginal de capital (dK/dP) et le coefficient d’accélération (dK/dC) n’ont pas la même valeur, car dP est supérieur à dC. En effet, le producteur est conduit à accroitre ses stocks lorsqu’il accroît ses ventes. Ainsi, un dC de 10 engendrera d’abord un dP de 11, sil le rapport permanent stock/P est de 0.1, puis un dK de 22, si le coefficient marginal de capital est de 2. Donc, le rapport dK/dC est de 2.2 et non de 2.

d-les équations structurelles et institutionnelles :

Elles expriment l’existence d’un rapport constant entre certaines grandeurs.

            -dans le cas des équations dites structurelles, cette constance est l’expression d’une relation relativement stable dans la courte période et que l’économiste, pour simplifier, considère comme constante. Ainsi, on pourra écrire :

            W = yR, ou W désigne le total des salaires, car la part des salaires dans le revenu national est relativement stable dans une période courte, de quelques années.

            -dans le cas des équations dites institutionnelles, un rapport constant exprime l’action d’une institution, par exemple celle de l’impôt, et on écrira :

            Rd = R – tR, où Rd est revenu disponible et t le taux de l’impôt sur le revenu.

e-les équations de définition :

 Elles expriment l’équivalence qui existe ; par définition, entre certains grandeurs et se caractérisent par l’absence de coefficients. Les équations typiques de définition des modèles macro-économiques nationaux sont :

            R = C + I   et R = W + Z

B-l’articulation du modèle :

 Un modèle peut être statique ou dynamique. Il est lorsque toutes ses équations sont statiques. Il est dynamique lorsque l’une, ou plusieurs, de ses équations sont dynamiques. Dans les 2 cas, il peut être marginaliste, ou non marginaliste.

  Nous présenterons successivement deux modèles macro-économiques, l’un statique, l’autre dynamique.

a-le modèle statique :

Le modèle présenté est très simple. Il n’est pas marginaliste et ne comprend que 4 équations, qui sont : 2 équations de définition (1) et (4), une équation structurelle(2), et une équation de comportement (3), soit :

(1) R = W + Z                  où R, W et Z désignent respectivement le revenu national, les salaires et les profits.

(2) W= yR                       où y = 0.6

(3) C = a1W + a2Z         où C est la consommation nationale, avec a1 = 0.9 et a2 = 0.5

(4) I = R – C                   où I est l’investissement.
Ce modèle comporte donc 5 variables (R, C, I, W, Z). Si on donne une valeur à la variable choisie comme indépendante, on a autant d’équations que d’inconnues, et on peut déterminer la valeur des autres variables dites dépendantes. Ainsi, pour R = 100, C = 74 et I = 26.
Par conséquent, si le modèle exprime correctement la situation économique de l’année
actuelle où le revenu est de 100, et si on estime qu’il peut encore l’exprimer pour l’année
suivante, on doit s’attendre, au cas où le revenu prévu est de 125, à une consommation
de 92.5 et un investissement de 32.5.
On remarquera que la part du revenu consacrée à la consommation (propension à la
consommation) est plus élevée pour les salariés que pour les non salariés, ce qui est
logique, car ils ont un revenu par tête plus faible.

b-le modèle dynamique :
Les modèles dynamiques n’ont pas le même objet que les modèles statiques.
L’objet des modèles statiques est de mettre en évidence des situations d’équilibres provisoires où tous les ajustements impliqués par les équations sont effectués. Par exemple ceux correspondant au niveau de revenu 100 ou 125.
L’objet des modèles dynamiques, au contraire, est d’expliquer le passage d’une situation à une autre, en montrant comment les variables d’une période agissent sur celles des périodes suivantes.
Pour le montrer, le temps est réparti, conformément aux principes de l’analyse dynamique, en périodes, et les équations expriment des relations entre des variables appartenant à une même période, ou à des périodes différentes.
La durée de chaque période est uniforme et est définie par le temps nécessaire aux opérations qu’elle inclut. Par exemple, une période où l’on investit (ce qui est le cas pour le modèle ci-dessous) est plus longue que celle où l’on se borne à produire.  
Le modèle dynamique examiné ici est l’un des plus célèbres de la théorie économique. Il est dû à SAMUELSON (américain, prix NOBEL 1970, et auteur du manuel célèbre « L’ECONOMIQUE »). Son but est d’expliquer la fluctuation du revenu national au cours de la courte période concrète d’environ 7 ans.
Ce modèle comporte 3 équations :

-une équation de comportement Ct = aRt-1

-une équation mixte It = b(Ct – Ct-1)
-une équation de définition Rt = Ct + It + It exogèനെ

Le modèle distingue 2 investissements, l’un endogène, c’est-à-dire déterminé par le modèle, l’autre exogène, détermine en dehors du modèle.

L’investissement exogène pourrait être privé, et être déterminé par exemple par le taux d’intérêt ou le montant des profits, donc par des variables qui ne figurent pas dans le modèle. Mais, l’investissement exogène est ici public. Il est réalisé pat l’Etat au sein de chaque période.

Pour simplifier, l’investissement exogène a une valeur de 1, et il engendre un mécanisme marginaliste qui est représenté, sans considérer les grandeurs de base auxquelles il s’ajoute, mais on peut les introduire, en admettant  par exemple que ces grandeurs sont de 80 pour C, 20 pour I, et 100 pour R. la séquence du revenu serait alors de 101, 102,102.5 au lieu de 10 puis 2 et 2.5.

On remarquera que l’exclusion par ce modèle des grandeurs de base donne aux équations une apparence non marginaliste (absence de « d »), bien que le modèle soit marginaliste.

Le modèle est développé ci-dessous, pour les valeurs a = 0.5 et b = 1 , jusqu’ à la 9^ème période.

Période	I-exogène	Consommation	I-endogène	Revenu National
1 2 3 4 5 6 7 8 9	1 1 1 1 1 1 1 1 1	- 0.5 1 1.25 1.25 1.125 1 0.9375 0.9375	- 0.5 0.5 0.25 0 -0.125 -0.125 -0.0625 0	1 2 2.5 sommet 2.5 2.25 2 1.875 creux 0.875 1.9375

Si on considère que la fluctuation à expliquer dure environ 7 ans et comporte ici 8 périodes (4 entre le sommet et le creux), la durée concrète de chaque période serait proche de 1 an.

En ce qui concerne les modèles économétriques , nous les traiterons dans d'autres      articles en détail.