Supposons que deux actifs soient échangés: un sans risque et
un autre à risque. Le premier peut être
considéré comme un dépôt bancaire ou une obligation émise par un gouvernement,
une institution financière ou une entreprise. L’actif risqué sera généralement une valeur mobilière de type action ou un
produit dérivé (contrats ou options). Il peut également s'agir d'une
devise étrangère, de l'or, d'une marchandise ou de pratiquement tout actif dont
le prix futur est inconnu aujourd'hui.
La position en titres à risque peut être spécifiée comme le
nombre d'actions détenues par un investisseur. Le prix d'une action à l'instant
t sera noté S (t). Le cours actuel de l'action S (0) est
connu de tous les investisseurs, mais le cours futur S (1) reste
incertain: il pourrait augmenter ou diminuer.
La différence S (1) - S (0) en tant que fraction de
la valeur initiale représente le taux de rendement, ou renvoie brièvement:
La position sans risque
peut être décrite comme le montant détenu dans un compte bancaire. Au lieu de
garder de l'argent dans une banque, les investisseurs peuvent choisir
d'investir dans des obligations. Le prix d'une obligation à l'instant t sera
noté A (t).
Le cours actuel des
obligations A (0) est connu de tous les investisseurs, tout comme le
cours des actions en cours. Cependant, contrairement à une action, le prix A
(1) que l'obligation rapportera au moment 1 est également connu avec
certitude. Par exemple, A (1) peut être un paiement garanti par l'institution
émettrice d'obligations, auquel cas l'obligation est dite à maturité 1 à la
valeur nominale A (1). Le rendement des obligations est défini de manière
similaire à celui des actions,
Notre tâche est de
construire un modèle mathématique d'un marché de titres financiers.
Une première étape
cruciale concerne les propriétés des objets mathématiques impliqués. Ceci est
fait ci-dessous en spécifiant un certain nombre d'hypothèses dont le but est de
trouver un compromis entre la complexité du monde réel et les limitations et
simplifications d'un modèle mathématique, imposé pour le rendre traitable. Les
hypothèses reflètent notre position actuelle sur ce compromis et seront modifiées
à l’avenir.
Hypothèse
1.1 (aléatoire) :
Le prix des actions
futures S (1) est une variable aléatoire avec au moins deux valeurs
différentes. Le prix futur A (1) de la sécurité sans risque est un nombre
connu.
Hypothèse
1.2 (Positivité des prix) :
Tous les prix des
actions et des obligations sont strictement positifs,
A (t)> 0 et S
(t)> 0 pour t = 0, 1.
La richesse totale d’un
investisseur détenant x actions et y des actifs sécurisés à un instant t = 0, 1
est
V
(t) = x S (t) + y A (t).
La paire (x, y) est
appelée portefeuille, V (t) étant la valeur de ce portefeuille ou, en d’autres
termes, la richesse de l’investisseur au moment t.
Les variations des prix
des actifs entre les temps 0 et 1 entraînent un changement de la valeur du
portefeuille:
V(1) − V (0) = x(S(1) − S(0)) + y(A(1) − A(0)).
Cette différence (qui
peut être positive, nulle ou négative) en tant que fraction de la valeur
initiale représente le rendement du portefeuille.
Les rendements des
obligations ou des actions sont des cas particuliers du rendement d'un
portefeuille (avec x = 0 ou y = 0, respectivement). Notez que comme S (1) est
une variable aléatoire, il en est de même pour V (1) ainsi que pour les retours
correspondants
et
.
Le retour
sur
un investissement sans risque est déterministe.
Hypothèse
1.3 (Divisibilité, liquidité et vente à découvert)
Un investisseur peut
détenir le nombre x et y d'actions et d'obligations, qu'elles soient entières
ou fractionnelles, négatives, positives ou nulles. En général,
x, y ∈ R.
Le fait que l'on puisse
détenir une fraction d'une action ou d'un lien est appelé divisibilité. Une
divisibilité quasi parfaite est obtenue dans les transactions réelles chaque
fois que le volume des transactions est élevé par rapport aux prix unitaires.
Le fait qu'aucune
limite ne soit imposée à x ou y est lié à un autre attribut de marché appelé
liquidité. Cela signifie que tout actif peut être acheté ou vendu à la demande
au prix du marché en quantités arbitraires. Il s’agit clairement d’une
idéalisation mathématique car, en pratique, il existe des restrictions sur le
volume des transactions.
Si le nombre de titres
d'un type particulier détenu dans un portefeuille est positif, nous disons que
l'investisseur a une position longue. Sinon, nous disons qu'une position courte
est prise ou que l'actif est en court-circuit. Une position courte sur des
titres sans risque peut impliquer l'émission et la vente d'obligations, mais en
pratique, le même effet financier est plus facilement atteint en empruntant des
liquidités, le taux d'intérêt étant déterminé par les prix des obligations.
Rembourser le prêt avec
intérêt est appelé la fermeture de la position courte. Une position courte en valeur
mobilière peut être réalisée par la vente à découvert. Cela signifie que
l'investisseur emprunte un titre, le vend et utilise le produit pour effectuer
d'autres investissements. Le propriétaire d’un titre conserve tous les droits.
En particulier, elle a le droit de recevoir les dividendes dus et peut
souhaiter vendre les actions à tout moment. De ce fait, l'investisseur doit
toujours disposer de ressources suffisantes pour remplir les obligations qui en
découlent et, en particulier, fermer la position vendeur sur les actifs
risqués, c'est-à-dire racheter les actions et les rendre au propriétaire. De
même, l'investisseur doit toujours être en mesure de clôturer une position
courte sur des titres sans risque en remboursant le prêt en espèces avec des
intérêts.
Hypothèse
1.4 (solvabilité)
La richesse d'un
investisseur doit être non négative à tout moment,
V
(t) ≥ 0 pour t = 0, 1.
Un portefeuille
répondant à cette condition est appelé recevable.
Dans la réalité, le
nombre de prix différents possibles est limité car ils sont cotés à un nombre
déterminé de décimales et parce qu’il n’ya qu’une certaine somme d’argent dans
le monde entier, fournissant une limite supérieure pour tous les prix.
Hypothèse
1.5 (Prix unitaires discrets)
Le prix futur S (1)
d'une action est une variable aléatoire ne prenant que de nombreuses valeurs.
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