Le marché des titres financiers : hypothèses de modélisation mathématique

Supposons que deux actifs soient échangés: un sans risque et un  autre à risque. Le premier peut être considéré comme un dépôt bancaire ou une obligation émise par un gouvernement, une institution financière ou une entreprise. L’actif risqué sera généralement une valeur mobilière de type action ou un produit dérivé (contrats ou options). Il peut également s'agir d'une devise étrangère, de l'or, d'une marchandise ou de pratiquement tout actif dont le prix futur est inconnu aujourd'hui.

La position en titres à risque peut être spécifiée comme le nombre d'actions détenues par un investisseur. Le prix d'une action à l'instant t sera noté S (t). Le cours actuel de l'action S (0) est connu de tous les investisseurs, mais le cours futur S (1) reste incertain: il pourrait augmenter ou diminuer.

La différence S (1) - S (0) en tant que fraction de la valeur initiale représente le taux de rendement, ou renvoie brièvement:               

La position sans risque peut être décrite comme le montant détenu dans un compte bancaire. Au lieu de garder de l'argent dans une banque, les investisseurs peuvent choisir d'investir dans des obligations. Le prix d'une obligation à l'instant t sera noté A (t).

Le cours actuel des obligations A (0) est connu de tous les investisseurs, tout comme le cours des actions en cours. Cependant, contrairement à une action, le prix A (1) que l'obligation rapportera au moment 1 est également connu avec certitude. Par exemple, A (1) peut être un paiement garanti par l'institution émettrice d'obligations, auquel cas l'obligation est dite à maturité 1 à la valeur nominale A (1). Le rendement des obligations est défini de manière similaire à celui des actions,

Notre tâche est de construire un modèle mathématique d'un marché de titres financiers.

Une première étape cruciale concerne les propriétés des objets mathématiques impliqués. Ceci est fait ci-dessous en spécifiant un certain nombre d'hypothèses dont le but est de trouver un compromis entre la complexité du monde réel et les limitations et simplifications d'un modèle mathématique, imposé pour le rendre traitable. Les hypothèses reflètent notre position actuelle sur ce compromis et seront modifiées à l’avenir.

Hypothèse 1.1 (aléatoire) :

Le prix des actions futures S (1) est une variable aléatoire avec au moins deux valeurs différentes. Le prix futur A (1) de la sécurité sans risque est un nombre connu.

Hypothèse 1.2 (Positivité des prix) :

Tous les prix des actions et des obligations sont strictement positifs,

A (t)> 0 et S (t)> 0 pour t = 0, 1.

La richesse totale d’un investisseur détenant x actions et y des actifs sécurisés à un instant t = 0, 1 est

V (t) = x S (t) + y A (t).

La paire (x, y) est appelée portefeuille, V (t) étant la valeur de ce portefeuille ou, en d’autres termes, la richesse de l’investisseur au moment t.

Les variations des prix des actifs entre les temps 0 et 1 entraînent un changement de la valeur du portefeuille:

V(1) − V (0) = x(S(1) − S(0)) + y(A(1) − A(0)).

Cette différence (qui peut être positive, nulle ou négative) en tant que fraction de la valeur initiale représente le rendement du portefeuille.

           

Les rendements des obligations ou des actions sont des cas particuliers du rendement d'un portefeuille (avec x = 0 ou y = 0, respectivement). Notez que comme S (1) est une variable aléatoire, il en est de même pour V (1) ainsi que pour les retours correspondants  et .  Le retour sur un investissement sans risque est déterministe.

Hypothèse 1.3 (Divisibilité, liquidité et vente à découvert)

Un investisseur peut détenir le nombre x et y d'actions et d'obligations, qu'elles soient entières ou fractionnelles, négatives, positives ou nulles. En général,

x, y ∈ R.

Le fait que l'on puisse détenir une fraction d'une action ou d'un lien est appelé divisibilité. Une divisibilité quasi parfaite est obtenue dans les transactions réelles chaque fois que le volume des transactions est élevé par rapport aux prix unitaires.

Le fait qu'aucune limite ne soit imposée à x ou y est lié à un autre attribut de marché appelé liquidité. Cela signifie que tout actif peut être acheté ou vendu à la demande au prix du marché en quantités arbitraires. Il s’agit clairement d’une idéalisation mathématique car, en pratique, il existe des restrictions sur le volume des transactions.

Si le nombre de titres d'un type particulier détenu dans un portefeuille est positif, nous disons que l'investisseur a une position longue. Sinon, nous disons qu'une position courte est prise ou que l'actif est en court-circuit. Une position courte sur des titres sans risque peut impliquer l'émission et la vente d'obligations, mais en pratique, le même effet financier est plus facilement atteint en empruntant des liquidités, le taux d'intérêt étant déterminé par les prix des obligations.

Rembourser le prêt avec intérêt est appelé la fermeture de la position courte. Une position courte en valeur mobilière peut être réalisée par la vente à découvert. Cela signifie que l'investisseur emprunte un titre, le vend et utilise le produit pour effectuer d'autres investissements. Le propriétaire d’un titre conserve tous les droits. En particulier, elle a le droit de recevoir les dividendes dus et peut souhaiter vendre les actions à tout moment. De ce fait, l'investisseur doit toujours disposer de ressources suffisantes pour remplir les obligations qui en découlent et, en particulier, fermer la position vendeur sur les actifs risqués, c'est-à-dire racheter les actions et les rendre au propriétaire. De même, l'investisseur doit toujours être en mesure de clôturer une position courte sur des titres sans risque en remboursant le prêt en espèces avec des intérêts.

Hypothèse 1.4 (solvabilité)

La richesse d'un investisseur doit être non négative à tout moment,

V (t) ≥ 0 pour t = 0, 1.

Un portefeuille répondant à cette condition est appelé recevable.

Dans la réalité, le nombre de prix différents possibles est limité car ils sont cotés à un nombre déterminé de décimales et parce qu’il n’ya qu’une certaine somme d’argent dans le monde entier, fournissant une limite supérieure pour tous les prix.

Hypothèse 1.5 (Prix unitaires discrets)

Le prix futur S (1) d'une action est une variable aléatoire ne prenant que de nombreuses valeurs.